סְטָטִיסְטִיקָה — מִדְּדֵי מֶרְכָּז וּפִזּוּר

בואו נתחיל עם סיפור קטן שאולי יגרום לכם לחשוב. דניאל ויעל קיבלו כל אחד חמישה ציונים. הציונים של דניאל היו חמישים, חמישים, שמונים, שמונים ותשעים. הציונים של יעל היו שבעים, שבעים, שבעים, שבעים ושבעים. עכשיו, מיון המורה מסתכלת על הגיליון ורואה שהממוצע של שניהם זהה בדיוק — שבעים. אבל האם זה אומר שדניאל ויעל עברו את הקורס באותה מידה? ברור שלא. הנתונים של דניאל קופצים מחמישים לתשעים, בעוד שיעל יציבה לחלוטין. זה בדיוק מה שהפרק הזה עוסק בו — מה הממוצע מספר, ומה הוא לא מספר.

נתחיל עם הממוצע החשבוני, שהוא הכלי הראשון בארגז. הנוסחה פשוטה: מחברים את כל הערכים ומחלקים במספרם. אם לכיתה יש חמישה תלמידים עם שעות מסך של שניים, שלוש, ארבע, חמש ושש — הממוצע הוא עשרים חלקי חמישה, שיוצא ארבע שעות. כדאי לזכור תכונה שימושית מאוד: הסכום הכולל שווה לממוצע כפול מספר הנתונים. כלומר אם יודעים שלכיתה של שלושים תלמידים ממוצע הציונים הוא שבעים וארבע, אפשר לחשב מיד שסכום כל הציונים הוא אלפיים ומאתיים ועשרים. זה מאפשר לפתור שאלות הפוכות — למשל, אם מוסיפים תלמיד עם ציון שווה לממוצע, הממוצע לא משתנה. כי התלמיד החדש לא מוסיף ולא גורע מהשיווי המדויק הזה.

חשוב לדעת גם איך מחשבים ממוצע משוקלל מתוך טבלת שכיחויות. נניח שבכיתה יש ארבעה תלמידים עם אפס חוגים, שישה תלמידים עם חוג אחד, ושניים עם שלושה חוגים. הטעות הנפוצה ביותר היא לחבר אפס, אחד ושלוש ולחלק בשלוש — שזה מספר הערכים השונים. אבל זה שגוי. צריך קודם כל לכפול כל ערך בשכיחות שלו: אפס כפול ארבע שווה אפס, אחד כפול שש שווה שש, שלוש כפול שניים שווה שש. עכשיו מחברים את התוצאות: אפס ועוד שש ועוד שש שווה שניים עשר. ואז מחלקים בסך כל התלמידים — שניים עשר — ולא בשלוש. התוצאה היא אחד. ההבדל הזה מהותי: כשהשכיחויות אינן שוות, החלוקה השגויה תיתן תוצאה אחרת לחלוטין.

עכשיו נעבור לחציון. החציון הוא הערך שבדיוק באמצע אחרי שמסדרים את הנתונים בסדר עולה. כשמספר הנתונים אי-זוגי — זה פשוט הערך האמצעי. כשמספרם זוגי — לוקחים את שניים האמצעיים ומחשבים את הממוצע שלהם. לדוגמה, שש חברות רצו בשבוע הזה שניים עשר, שמונה, חמישה, חמישה עשר, תשעה וארבעה עשר קילומטרים. לפני שאפשר לאתר את החציון, חייבים לסדר: חמישה, שמונה, תשעה, שניים עשר, ארבעה עשר, חמישה עשר. כי יש שישה נתונים — מספר זוגי — שניים האמצעיים הם תשעה ושניים עשר. הממוצע שלהם הוא עשר וחצי, וזה החציון.

מתי עדיף להשתמש בחציון ולא בממוצע? כשיש ערך קיצוני שמעוות את התמונה. נדמיין כיתה של עשרים ותשעה תלמידים שכולם השלימו חמש שעות שיעורי בית בשבוע — חוץ מתלמיד אחד שמילא בטעות מאה שעות. הממוצע יקפוץ מעל חמש בגלל הטעות הזו, ולא ייצג נאמנה אף תלמיד בכיתה. החציון לעומת זאת יישאר חמש, כי ערך קיצוני אחד לא משנה את מי שנמצא במקום האמצעי. ממש כמו בדוגמת השכרים הנפוצה: אם ארבעה מתוך חמישה עובדים מרוויחים שישה אלף שקל, ועובד חמישי מרוויח מאה אלף, הממוצע יהיה מעל ארבעה עשר אלף — גבוה משכרם של ארבעה מתוך חמישה. החציון של שישה אלף מייצג אותם הרבה יותר נאמנה.

המדד השלישי הוא השכיח — הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. חשוב לשים לב: השכיח הוא הערך עצמו, לא מספר הפעמים שהוא מופיע. בסקר כיתתי שבו שלושה תלמידים אמרו שיש להם אפס חיות בית, שבעה אמרו אחת, חמישה אמרו שתיים, ושניים אמרו שלוש — השכיח הוא אחד, כי שכיחותו — שבעה — גבוהה מכל השאר. ואחד נוסף לבסוף: הטווח, שהוא ההפרש בין הערך הגדול לקטן. זה מדד פיזור גס שרגיש מאוד לערכי קצה — ערך קיצוני אחד יכול לנפח את הטווח ולתת רושם מוטעה על הפיזור.

עכשיו נגיע למדד הפיזור החשוב מכולם — סטיית התקן. היא מודדת כמה הנתונים מפוזרים סביב הממוצע. הנוסחה: שורש של ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע. כלומר לוקחים כל נתון, מחסרים ממנו את הממוצע, מעלים בריבוע, מחברים הכל ומחלקים במספר הנתונים, ואז שולפים שורש. לדניאל ויעל מתחילת הפרק — שניהם עם ממוצע שבעים — סטיית התקן של יעל תהיה אפס, כי כל הנתונים שלה זהים. סטיית התקן של דניאל תהיה גדולה יותר, כי הנתונים שלו מתפזרים.

כדאי להכיר שתי תכונות קריטיות של סטיית התקן. ראשית, היא תמיד גדולה מאפס או שווה לאפס — לעולם לא שלילית. שנית, היא שווה לאפס בדיוק כשכל הנתונים זהים. אלו גם שאלות מועדפות בבגרות, אז כדאי לזכור אותן. שתי קבוצות כדורסל עם ממוצע נקודות זהה — שמונים ושניים — יכולות להיות שונות לחלוטין. קבוצה אחת שישקה בין שבעים לתשעים וארבע, והשנייה עם תוצאות צפופות בין שמונים לשמונים וארבע. הממוצע זהה, אבל סטיית התקן של הקבוצה הראשונה גדולה בהרבה — והיא מספרת שהביצועים שלה פחות עקביים.

ולסיום, שאלה שמופיעה לעיתים קרובות: מה קורה לממוצע ולסטיית התקן כשמוסיפים מספר קבוע לכל נתון? אם ממוצע הציונים בכיתה הוא שבעים וסטיית התקן היא שמונה, ואז המורה מוסיפה חמש נקודות לכל תלמיד — הממוצע יעלה לשבעים וחמש. אבל סטיית התקן תישאר שמונה. למה? כי כולם עלו באותה מידה, אז המרחקים ביניהם ובין הממוצע לא השתנו כלל. הפיזור נשמר, רק המרכז זז.

נסכם את מה שלמדנו: הממוצע מספר לנו על המרכז, אבל לא על הפיזור. החציון עמיד בפני ערכים קיצוניים ומתאים לנתונים עם אאוטליירים. השכיח מציין את הנפוץ ביותר, והטווח נותן תמונה גסה על הפיזור. סטיית התקן היא המדד המדויק לפיזור — ושתי קבוצות עם ממוצע זהה יכולות להיות שונות לגמרי ברמת הפיזור שלהן. כל המדדים האלה ביחד נותנים תמונה שלמה של הנתונים — שום מדד אחד לבדו לא מספיק.