אִינְטֶגְרָלִים וּשְׁטָחִים

ברוכים הבאים לפרק שיעזור לכם להבין אחד הנושאים היפים במתמטיקה של הבגרות — אינטגרלים ושטחים. בואו נתחיל עם שאלה שאולי נשמעת מוזרה: אם אנחנו יודעים כמה מהר משהו משתנה בכל רגע נתון, איך נחשב כמה הוא השתנה בסך הכל? זאת בדיוק השאלה שהובילה למתמטיקה של האינטגרל.

נדמיין שנוסעים ברכב. בכל רגע, המד מראה את המהירות — כמה קילומטרים לשעה. המהירות הזאת היא בעצם הנגזרת של המרחק. עכשיו, אם רוצים לדעת כמה קילומטרים נסענו בסך הכל, צריך לבצע את הפעולה ההפוכה לגזירה. הפעולה הזאת נקראת אינטגרציה, והתוצאה שלה היא האינטגרל. אחד הדברים המפתיעים בהיסטוריה של המתמטיקה הוא שהשאלה הזאת — כיצד מחשבים שטח מתחת לגרף של פונקציות לא לינאריות — הובילה לאחת מהתגליות הגדולות ביותר, שיוחסת הן לניוטון והן ללייבניץ.

נתחיל עם המושג של פונקציה קדומה. אם נגזרת של פונקציה F של x היא f של x, אז F נקראת פונקציה קדומה של f. זה אומר שאינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. אבל יש כאן פרט חשוב: נגזרת של כל קבוע שווה לאפס, ולכן אם F היא פונקציה קדומה, אז גם F של x ועוד C, כאשר C הוא כל קבוע שנרצה, היא גם כן פונקציה קדומה. לכן כשכותבים אינטגרל לא מסוים, תמיד מוסיפים בסוף ועוד C. הכלל הבסיסי שצריך לדעת הוא כלל החזקה: האינטגרל של x בחזקת n שווה x בחזקת n ועוד אחד, חלקי n ועוד אחד, ועוד C, כל עוד n שונה ממינוס אחד. הבדיקה תמיד זמינה — גוזרים את התוצאה ומוודאים שמקבלים חזרה את f של x.

יש כמה כללים שמקלים מאוד על החישובים. ראשית, האינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים — כלומר ניתן לפצל אינטגרל של ביטוי לפי איבריו. שנית, קבוע כפלי יוצא מחוץ לסימן האינטגרל. לדוגמה, האינטגרל של 5 כפול x בחזקת 3 שווה 5 כפול האינטגרל של x בחזקת 3, שזה 5 כפול x בחזקת 4 חלקי 4, ועוד C, ובסוף מקבלים 5 כפול x בחזקת 4 חלקי 4 ועוד C. ויש כלל שחשוב לזכור: אין כלל אינטגרציה למכפלה. אי אפשר לפצל אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות לשני אינטגרלים נפרדים. מה שכן עושים — כופלים קודם ואז מבצעים אינטגרציה. לדוגמה, האינטגרל של x בריבוע כפול x הוא האינטגרל של x בחזקת 3, שנותן x בחזקת 4 חלקי 4 ועוד C.

בואו נתרגל. מהו האינטגרל של 4 כפול x בחזקת 3 פחות 6x? מפצלים ומקבלים: 4 כפול x בחזקת 4 חלקי 4, פחות 6 כפול x בריבוע חלקי 2, ועוד C. מפשטים ומקבלים x בחזקת 4 פחות 3 כפול x בריבוע ועוד C. דוגמה נוספת: נתון שנגזרת של g היא 6x פחות 2, וש-g של אפס שווה 5. מהי g? מבצעים אינטגרציה ומקבלים g של x שווה 3 כפול x בריבוע פחות 2x ועוד C. כדי למצוא את C, מציבים x שווה אפס ומקבלים 5 שווה C, לכן g של x שווה 3 כפול x בריבוע פחות 2x ועוד 5.

עכשיו נגיע לאינטגרל המסוים — הכלי שמאפשר לחשב שטחים. האינטגרל המסוים של f בין a ל-b מחשב שטח מכוון בין הגרף לציר ה-x בקטע מ-a עד b. השיטה לחישוב מבוססת על נוסחת ניוטון-לייבניץ: מציאים פונקציה קדומה F, ואז מחסירים F של a מ-F של b. הקבוע C מצטמצם תמיד בפעולת ההחסרה, לכן לא צריך להתעסק איתו כאן. לדוגמה, האינטגרל של x בריבוע מאפס עד 2 שווה x בחזקת 3 חלקי 3, מוצב בין אפס ל-2, ומקבלים 8 חלקי 3 פחות אפס, שזה 8 חלקי 3.

המילה "מכוון" היא קריטית. כאשר הגרף נמצא מעל לציר ה-x, האינטגרל חיובי, והשטח שווה לאינטגרל. אבל כאשר הגרף מתחת לציר, האינטגרל יוצא שלילי, וכדי לקבל שטח ממשי — שתמיד חיובי — לוקחים ערך מוחלט. אם הגרף חוצה את ציר ה-x בתוך הקטע, מוצאים את נקודות החיתוך, מפצלים לקטעים נפרדים, מחשבים כל אינטגרל בנפרד ומחברים את הערכים המוחלטים. לדוגמה, תלמיד שחישב שטח של y שווה x בריבוע פחות 9 בקטע מאפס עד 3 וקיבל מינוס 18 טעה בדיוק בנקודה הזאת — הגרף שלילי לאורך כל הקטע הזה, ולכן השטח שווה לערך המוחלט של מינוס 18, כלומר 18.

הנושא האחרון הוא חישוב שטח כלוא בין שתי פונקציות. כשיש שתי פונקציות f ו-g, ורוצים למצוא את השטח שהן כולאות ביניהן, הנוסחה היא: מחשבים את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציה העליונה לפונקציה התחתונה, בין נקודות החיתוך. לפני כל חישוב כזה, כדאי מאוד לשרטט סכמה — גם גסה — כי הסכמה מגלה מי עליון ומי תחתון, ובאיזה קטע. נקודות הגבול הן נקודות החיתוך של שני הגרפים.

בואו נעבור על דוגמה שלמה. רוצים למצוא שטח כלוא בין y שווה x בריבוע לבין y שווה 2x. שלב ראשון: מוצאים חיתוכים. שווים את שתי הפונקציות: x בריבוע שווה 2x, מסדרים ומקבלים x בריבוע פחות 2x שווה אפס, כלומר x כפול x פחות 2 שווה אפס, ולכן x שווה אפס או x שווה 2. שלב שני: בודקים מי עליון בקטע מאפס עד 2. בוחרים נקודת בדיקה, למשל x שווה 1. הישר נותן 2 והפרבולה נותנת 1, לכן הישר עליון. שלב שלישי: מחשבים את האינטגרל של 2x פחות x בריבוע, מאפס עד 2. מקבלים x בריבוע פחות x בחזקת 3 חלקי 3, מוצב בין 0 ל-2. מציבים 2 ומקבלים 4 פחות 8 חלקי 3, שזה 4 חלקי 3. השטח הכלוא הוא 4 חלקי 3.

לסיכום הפרק: אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. האינטגרל הלא מסוים מיצג משפחת פונקציות קדומות ותמיד כולל ועוד C. האינטגרל המסוים נחשב לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ ומחשב שטח מכוון. כשהגרף מתחת לציר לוקחים ערך מוחלט. וכשמחשבים שטח בין שתי פונקציות — מוצאים חיתוכים, מזהים מי עליון, ומחשבים אינטגרל של ההפרש. בהצלחה בבגרות!