וֶקְטוֹרִים

שניים רוכבים על אופניים. שניהם נוסעים במהירות של 30 קמ"ש. המספרים זהים לחלוטין. ובכל זאת, אם אחד נוסע צפונה והשני נוסע דרומה, הם מתרחקים זה מזה בקצב של 60 קמ"ש. איך ייתכן? התשובה היא שמספר לבדו לא מספר את הסיפור המלא. יש פה מידע שהמספר מפספס, והמידע הזה הוא הכיוון. זו בדיוק הנקודה שממנה מתחיל כל הנושא של וקטורים.

בואו נגדיר את המושגים הבסיסיים. סקלר הוא פשוט מספר, גודל בלי כיוון. טמפרטורה של 37 מעלות, מסה של 70 קילוגרם, גובה של 1.80 מטר, אלו סקלרים. לעומת זאת, וקטור הוא גודל שיש לו גם ערך וגם כיוון. מהירות של 30 קמ"ש צפונה, כוח של 10 ניוטון שמאלה, תזוזה של 5 מטרים למעלה, אלו וקטורים. גיאומטרית, אנחנו מצייריםוקטור כחץ. אורך החץ מייצג את הגודל, וכיוון החץ מייצג את הכיוון. חשוב להבין שכל שני חצים שיש להם אותו אורך ואותו כיוון, גם אם הם מצוירים במקומות שונים על הדף, מייצגים את אותו הוקטור בדיוק. אלגברית, כותבים וקטור בתור זוג מספרים בסוגריים, למשל וקטור u שווה (3, 4), כלומר שלושה צעדים ימינה וארבעה צעדים למעלה.

עכשיו נעבור לפעולות על וקטורים, ונתחיל מחיבור. יש שתי דרכים לחשוב על חיבור וקטורים גיאומטרית. הדרך הראשונה נקראת כלל המשולש: מניחים את תחילת הוקטור השני על סוף הוקטור הראשון, והחץ שרץ מתחילת הוקטור הראשון עד סוף הוקטור השני הוא הסכום. הדרך השנייה נקראת כלל המקבילית: פורשים את שני הוקטורים מאותה נקודה, משלימים מקבילית, והאלכסון שיוצא מאותה נקודה הוא הסכום. אלגברית, החיבור פשוט מאוד: מחברים רכיב מול רכיב. אם וקטור u שווה (a, b) ווקטור v שווה (c, d), אז u ועוד v שווה (a ועוד c, b ועוד d). חיסור עובד בדיוק אותו אופן: u פחות v שווה (a פחות c, b פחות d). נסו לחשב: אם u שווה (3, 4) ו-v שווה (מינוס 1, 2), אז u ועוד 2v שווה (3, 4) ועוד (מינוס 2, 4), שזה שווה (1, 8).

נושא שמאוד חשוב ושגוי בתדירות גבוהה הוא וקטור בין שתי נקודות. אם נתונות נקודות A ו-B, אז הוקטור מ-A ל-B, שכותבים אותו עם חץ מעל AB, שווה B פחות A. תמיד סוף פחות התחלה. הטעות הנפוצה היא לכתוב A פחות B, ולכן כדאי לזכור את הכלל הזה: הנקודה שאליה מגיעים היא זו שממנה מחסירים. למשל, אם A שווה (1, 3) ו-B שווה (4, 7), אז הוקטור מ-A ל-B שווה (4 פחות 1, 7 פחות 3), כלומר (3, 4).

נעבור להכפלת וקטור בסקלר. אם לוקחים וקטור v שווה (a, b) ומכפילים אותו במספר k, מקבלים kv שווה (ka, kb). כלומר, כופלים כל רכיב במספר. גיאומטרית, אם k גדול מ-1, הוקטור נמתח. אם k נמצא בין 0 ל-1, הוקטור מתכווץ. ואם k שלילי, הוקטור גם מתהפך בכיוון. הכפלה בסקלר פותחת גם דרך לבדוק מקביליות: שני וקטורים מקבילים אם ורק אם אחד מהם שווה לכפולה סקלרית של השני, כלומר אם הרכיבים שלהם פרופורציונליים. בפועל, בודקים אם u1 חלקי v1 שווה u2 חלקי v2. לדוגמה, עבור איזה ערך של t הוקטורים (t, 6) ו-(2, 3) מקבילים? צריך ש-t חלקי 2 יישווה 6 חלקי 3, כלומר t חלקי 2 שווה 2, ולכן t שווה 4.

כעת מגיעים לאחד המושגים המרכזיים בנושא, המכפלה הסקלרית. נשים לב לשם: למרות שמדובר בפעולה בין שני וקטורים, התוצאה היא מספר, לא וקטור. כותבים אותה עם נקודה בין הוקטורים. הגדרה רכיבית: u כפול v שווה u1 כפול v1 ועוד u2 כפול v2. פשוט כופלים רכיב מול רכיב ומחברים. לדוגמה, אם u שווה (3, 4) ו-v שווה (מינוס 1, 2), אז המכפלה הסקלרית שווה 3 כפול מינוס 1 ועוד 4 כפול 2, כלומר מינוס 3 ועוד 8, שזה 5. יש גם הגדרה גיאומטרית: המכפלה הסקלרית שווה לגודל u כפול גודל v כפול קוסינוס של הזווית ביניהם. השוואת שתי ההגדרות נותנת לנו נוסחה לחישוב קוסינוס הזווית בין שני וקטורים.

הסימן של המכפלה הסקלרית מספר לנו הרבה על הזווית בין הוקטורים. אם המכפלה חיובית, הזווית חדה. אם המכפלה שלילית, הזווית קהה. ואם המכפלה שווה אפס, הזווית היא בדיוק 90 מעלות, כלומר הוקטורים ניצבים זה לזה. הטעות הנפוצה שכדאי להימנע ממנה היא לחשוב שמכפלה שלילית פירושה ניצבות. לא נכון. ניצבות קורה רק כשהמכפלה שווה אפס בדיוק. תנאי הניצבות הוא הכלי המהיר ביותר לבדיקה: u ניצב ל-v אם ורק אם u1 כפול v1 ועוד u2 כפול v2 שווה אפס. בלי צורך לחשב זוויות. למשל, עבור איזה ערך של t הוקטורים (t, 6) ו-(2, 3) מאונכים? 2t ועוד 18 שווה אפס, לכן t שווה מינוס 9.

נסיים עם שיטת הוקטורים להוכחת טענות גיאומטריות, שמאחדת את כל מה שלמדנו. הרעיון הוא לבחור שני וקטורי בסיס ולהביע כל קטע בתמונה כצירוף שלהם. בסוף, כשמשווים שני ביטויים, מותר להשוות מקדם מול מקדם. כדי לראות את השיטה בפעולה, נוכיח שהאלכסונים של מקבילית חוצים זה את זה. נסמן AB שווה u ו-AD שווה v. אז האלכסון AC שווה u ועוד v, כי עוברים מ-A ל-B ומשם ל-C. האלכסון DB שווה u פחות v. נסמן את נקודת החיתוך M. על האלכסון הראשון, AM שווה למדא כפול (u ועוד v) לאיזשהו מדא בין 0 ל-1. על האלכסון השני, DM שווה מי כפול (u פחות v) לאיזשהו מי בין 0 ל-1. כעת כותבים AM בשתי דרכים ומשווים: AM שווה גם AD ועוד DM, כלומר v ועוד מי כפול (u פחות v), שזה מי כפול u ועוד (1 פחות מי) כפול v. מהשוואת מקדמים מקבלים מדא שווה מי, וגם מדא שווה 1 פחות מי. שתי המשוואות ביחד נותנות מי שווה חצי. זאת אומרת ש-M היא נקודת האמצע של שניהם, ולכן האלכסונות אכן חוצים זה את זה. כוחה של השיטה הוא שהוכחנו טענה כללית לכל מקבילית, בלי מספרים פרטיים ובלי קואורדינטות ספציפיות.