8 דקות
שנייה לפני שמתחילים, בואו נחשוב על שאלה קטנה: דמיינו שמישהו מציע לכם עסקה. ביום הראשון הוא נותן לכם גרגר חיטה אחד. ביום השני, שניים. ביום השלישי, ארבעה. כל יום, כפול שניים. עשרים וארבעה ימים כאלה, ותקבלו יותר חיטה מכל מה שגדל בישראל בשנה שלמה. זו לא קסמות — זה כוחן של חזקות. וזה בדיוק מה שנלמד היום.
הסיפור הזה הוא סיפור ממציא השחמט. לפי האגדה, הוא ביקש מהמלכה תשלום פשוט לכאורה: גרגר אחד במשבצת הראשונה, שניים בשנייה, ארבעה בשלישית, וכך הלאה עד למשבצת ה-64. המלכה הסכימה מיד, בטוחה שמדובר בתשלום צנוע. אבל במשבצת ה-64 צריך להניח שתיים בחזקת 63 — שזה יותר מתשע קווינטיליון גרגרים. יותר מכל החיטה שגדלה בכל הארץ במשך אלף שנה. הסיפור הזה מחזיר אותנו לשאלה האמיתית: מה בעצם עושה חזקה, ולמה הדברים גדלים כל כך מהר?
חזקה היא פשוט כתיב מקוצר לכפל חוזר. כשכותבים a בחזקת n, הכוונה היא להכפיל את a בעצמו n פעמים. לדוגמה, שלוש בחזקת ארבע זה שלוש כפול שלוש כפול שלוש כפול שלוש, ומקבלים 81. ה-a נקרא הבסיס, וה-n נקרא המעריך. ומהגדרה פשוטה זו נובעים כל חוקי החזקות — אין צורך לשנן, רק להבין.
בואו ניקח את החוק הראשון: כשמכפילים חזקות עם אותו בסיס, המעריכים מתחברים. שלוש בחזקת חמש, כפול שלוש בחזקת שתיים, שווה שלוש בחזקת שבע. למה? כי שלוש בחזקת חמש זה חמישה גורמים של שלוש, ושלוש בחזקת שתיים זה עוד שניים. ביחד יש לנו שבעה גורמים של שלוש. זה כל הסיפור. החוק השני עובד באותו היגיון הפוך: כשמחלקים חזקות עם אותו בסיס, הגורמים מצטמצמים והמעריכים מתחסרים. חמש בחזקת שבע, חלקי חמש בחזקת שלוש, שווה חמש בחזקת ארבע.
חוק שלישי מדבר על חזקה של חזקה. כשמעלים חזקה לחזקה, המעריכים נכפלים. שתיים בחזקת שלוש, כל זה בחזקת ארבע — זה שתיים בחזקת שניים עשר. כי אנחנו לוקחים שמונה, שזה שתיים בחזקת שלוש, ומכפילים אותו בעצמו ארבע פעמים — וזה כפל חוזר של כפל חוזר. החוק הרביעי אומר שכשמעלים מכפלה לחזקה, המעריך חל על כל גורם בנפרד. שניים כפול חמש, כל זה בחזקת שלוש, שווה שמונה כפול 125, שזה אלף. כדאי לשים לב להבדל: שתיים כפול חמש בחזקת שלוש, בלי סוגריים, זה רק 250 — כי אז המעריך חל רק על החמש. החוק החמישי הוא אותו הדבר עבור מנה: השורש של מנה שווה למנה של השורשים.
עכשיו נגיע לאחד הדברים שמבלבלים הרבה תלמידים: מה קורה כשהמעריך הוא אפס? לפי חוק החילוק, a בחזקת שלוש חלקי a בחזקת שלוש שווה a בחזקת שלוש פחות שלוש, כלומר a בחזקת אפס. אבל כל מספר חלקי עצמו שווה אחד. לכן a בחזקת אפס שווה אחד — לכל a שאינו אפס. זה לא הגדרה שרירותית; זה מסקנה ישירה מהחוקים שכבר יודעים.
ואם המעריך שלילי? גם כאן חוק החילוק עושה את העבודה: a בחזקת מינוס n שווה אחד חלקי a בחזקת n. לדוגמה, שתיים בחזקת מינוס שלוש שווה שמינית. **לא** מינוס שמונה. טעות נפוצה מאוד היא לחשוב שמעריך שלילי הופך את המספר לשלילי — אבל זה לא מה שקורה. המעריך השלילי נותן הופכי, לא מינוס.
מהחזקות נעבור לכתיב מדעי — דרך חכמה לרשום מספרים גדולים מאוד או קטנים מאוד. הצורה היא: מספר בין אחד לעשר, כפול עשר בחזקה כלשהי. לדוגמה, שלושה מיליון זה שלוש כפול עשר בחזקת שש. ועשרה בחזקת שש זה אחריו שש אפסים — בדיוק שלושה מיליון. כשהמעריך חיובי, הנקודה העשרונית זזה ימינה. כשהמעריך שלילי, הנקודה זזה שמאלה. לדוגמה, 0.000005 זה חמש כפול עשר בחזקת מינוס שש. כדי להמיר מספר לכתיב מדעי, מאתרים את הספרה המובילה, ממקמים את הנקודה אחריה, וסופרים כמה מקומות עברה. כשמכפילים שני מספרים בכתיב מדעי, כופלים את המקדמים ומחברים את המעריכים — בדיוק לפי חוק הכפל של חזקות.
ועכשיו לחלק הגדול השני של השיעור: שורשים. השורש הריבועי הוא הפעולה ההופכית לריבוע. שורש של 25 שווה חמש, כי חמש בריבוע שווה 25. חשוב לדעת: כשכותבים שורש, מתכוונים לתוצאה האי-שלילית. גם מינוס חמש בריבוע שווה 25, אבל שורש של 25 הוא חמש — לא מינוס חמש.
לשורשים יש חוקים משלהם, ושוב הם מקבילים לחוקי החזקות. שורש של מכפלה שווה מכפלת השורשים. לדוגמה, שורש של שלוש כפול שורש של שתים עשרה שווה שורש של 36, שזה שש. אבל יש אזהרה חשובה: שורש של סכום לא שווה סכום השורשים. שורש של תשע ועשרה ושש שווה שורש של 25, שזה חמש. אבל שורש של תשע ועוד שורש של שש עשרה שווה שלוש ועוד ארבע, שזה שבע. לא אותו דבר.
כשרוצים לפשט שורש, מחפשים גורם שהוא ריבוע שלם. לדוגמה, שורש של 72. מחפשים: 72 שווה 36 כפול שתיים. לכן שורש של 72 שווה שורש של 36 כפול שורש של שתיים, שזה שש שורש שתיים. כדאי לחפש את הריבוע השלם הגדול ביותר שמחלק את המספר — ככה מפשטים בפעם אחת ולא ב-3 שלבים. שורש של 50 הוא שורש של 25 כפול שתיים, כלומר חמש שורש שתיים.
ולסיום, שאלה טובה: איפה בדיוק נמצא שורש של 55 על ציר המספרים? מחפשים ריבועים שלמים בקרבת מקום: 49 זה שבע בריבוע, ו-64 זה שמונה בריבוע. מאחר ש-55 נמצא בין 49 לבין 64, שורש של 55 נמצא בין שבע לשמונה. ומאחר ש-55 קצת יותר קרוב ל-49, השורש קצת יותר קרוב לשבע. זה אומדן — לא חישוב מדויק — אבל ממש שימושי בבחינות כשרוצים לבדוק שתשובה סבירה.
לסיכום, כל מה שנלמד היום נובע מרעיון אחד: חזקה היא כפל חוזר. מתוך זה נגזרים חמשת החוקים, המעריך האפסי, המעריך השלילי, הכתיב המדעי, ואפילו שורשים — שהם פשוט הפעולה ההופכית לחזקה. ממציא השחמט ידע מה שהמלכה לא ידעה: שכשמתחילים לכפול, הדברים גדלים מהר מאוד. עכשיו גם אנחנו יודעים למה.