10 דקות
שלום לכולם, וברוכים הבאים לפודקאסט של הכנה לבגרות במתמטיקה. היום אנחנו צוללים לנושא שמופיע כמעט בכל בחינה — המודל הליניארי וקריאת גרפים. אם מעולם תהיתם איך לדעת איזו חברת מוניות זולה יותר, או מתי מיכל מים יתרוקן, אתם בדיוק במקום הנכון. בואו נתחיל.
נפתח עם סיפור פשוט. חברת מוניות אחת גובה חמישים שקלים דמי הזמנה, ועוד שלושה שקלים לכל קילומטר. חברה מתחרה לא גובה דמי הזמנה בכלל, אבל מחירה הוא חמישה שקלים לכל קילומטר. מי יקרה יותר בנסיעה קצרה? מי יקרה יותר בנסיעה ארוכה? ובאיזה מרחק בדיוק שתי החברות עולות אותו דבר? שלוש שאלות שונות, ותשובה אחת שמסתתרת בנקודה יחידה על גרף. כדי למצוא אותה, קודם כל צריך ללמוד לבנות את המודל.
המודל הליניארי הוא כלי שמתאר כל סיטואציה שבה גודל מסוים משתנה בקצב קבוע. הנוסחה הבסיסית היא y שווה mx ועוד b, ולכל מרכיב יש משמעות שחשוב להבין. b הוא הערך ההתחלתי — מה שמקבלים כשמציבים x שווה אפס. בדוגמת המוניות, זהו תשלום דמי ההזמנה לפני שנסענו אפילו קילומטר אחד. m הוא קצב השינוי — כמה משתנה y על כל יחידה אחת של x. בדוגמה שלנו, זה המחיר לכל קילומטר. כשמבינים את שני המרכיבים האלה, אפשר לבנות פונקציה לכל בעיה.
איך עושים את זה בפועל? בנוים את המשוואה בארבעה צעדים. הצעד הראשון הוא לאתר את הערך ההתחלתי. מחפשים בשאלה סכום שמשלמים גם אם לא עשינו כלום — דמי הזמנה, תשלום קבוע, יתרת פתיחה. זהו b. הצעד השני הוא לאתר את קצב השינוי. מחפשים את המחיר "לכל" — לכל קילומטר, לכל דקה, לכל יחידה. זהו m, ושימו לב לסימן: אם הגודל פוחת, m שלילי. הצעד השלישי הוא לכתוב את המשוואה — y שווה mx ועוד b, ולהציב את הערכים שמצאנו. הצעד הרביעי, שרבים מדלגים עליו, הוא בדיקה. מציבים x שווה אפס — צריכים לקבל בדיוק את b. מציבים x שווה אחד — ההפרש מ-b צריך להיות בדיוק m. אם שני הדברים נכונים, המודל תקין.
ניקח דוגמה לתרגול. חברת הסעות גובה שלושים שקלים דמי הזמנה ועוד שישה שקלים לכל קילומטר. מזהים את b — שלושים שקלים, אלה דמי ההזמנה. מזהים את m — שישה שקלים לקילומטר. כותבים: y שווה שישה x ועוד שלושים. בודקים: מציבים x שווה אפס, מקבלים שלושים — נכון. מציבים x שווה אחד, מקבלים שלושים ושישה, הפרש של שישה מ-b — נכון. המודל תקין.
עכשיו בואו נדבר על קריאת גרפים, כי בבחינה לא תמיד נותנים נוסחה — לפעמים נותנים גרף ומבקשים לפרש אותו. לפני שקוראים גרף, בודקים תמיד את יחידות הצירים. האם ציר x מדבר על דקות או שעות? האם ציר y מדבר על שקלים או אלפי שקלים? טעות ביחידות יכולה להרוס תשובה נכונה לגמרי.
שלושה עקרונות מנחים את קריאת הגרף. עיקרון ראשון: נקודת החיתוך עם ציר y, כלומר הנקודה שבה x שווה אפס, היא הערך ההתחלתי — כמות הפתיחה במיכל, היתרה המתחלת, דמי ההזמנה. עיקרון שני: נקודת החיתוך עם ציר x, כלומר הנקודה שבה y שווה אפס, היא רגע ההתאפסות — מתי המיכל ריק, מתי החוב מסולק. עיקרון שלישי: קטע אופקי בגרף אומר שהגודל לא השתנה באותה תקופה — השיפוע שם הוא אפס.
נדגים עם מיכל מים. הגרף יורד בקו ישר מ-80 ליטר ומגיע לאפס בדקה הארבעים. נחשב את קצב הריקון: m שווה אפס פחות שמונים חלקי ארבעים פחות אפס, כלומר שמונים מינוס חלקי ארבעים, שזה מינוס שניים. המיכל מתרוקן בשני ליטר לדקה. הסימן השלילי חשוב — הוא מראה שהגרף יורד. אם שואלים מתי המיכל ריק, זאת שאלה על ציר x, לא על ציר y. כותבים את הפונקציה: y שווה מינוס שניים x ועוד שמונים. מציבים y שווה אפס: אפס שווה מינוס שניים x ועוד שמונים. מסיקים ש-x שווה ארבעים דקות. זאת התשובה. ואם בגרף יש קטע שטוח, נניח בין הדקה החמש-עשרה לדקה העשרים-וחמש, פירוש הדבר שהריקון נעצר לרגע — אולי מישהו סגר את הברז — ואחר כך ממשיך.
שאלת תרגול: גרף יורד בקו ישר ועובר דרך הנקודות אפס-שישים ושלושים-אפס. מה קצב הריקון בליטר לדקה? מחשבים: m שווה אפס פחות שישים חלקי שלושים פחות אפס, כלומר שישים מינוס חלקי שלושים, שזה מינוס שניים. קצב הריקון הוא שניים ליטר לדקה. ושאלה נוספת: אם הפונקציה היא y שווה מינוס שלושה x ועוד תשעים, אחרי כמה דקות המיכל ריק? מציבים אפס שווה מינוס שלושה x ועוד תשעים. מקבלים x שווה שלושים דקות.
ועכשיו חוזרים לשאלה שפתחנו בה — השוואה בין שני מסלולים. זה הנושא שהכי מבלבל בבחינות, כי יש שלוש שאלות שונות שנראות דומות אבל דורשות תשובות שונות לגמרי. שאלה ראשונה: מתי המחירים שווים? שאלה שנייה: כמה משלמים באותו רגע? שאלה שלישית: מאיזו כמות מסלול מסוים זול יותר?
ניקח דוגמה. מסלול א' עולה ארבעים שקל לחודש ועוד שניים לכל שעה, כלומר A שווה שניים x ועוד ארבעים. מסלול ב' עולה עשרה שקלים לכל שעה בלבד, כלומר B שווה עשרה x. כדי לענות על שאלה ראשונה — מתי המחירים שווים — משווים: שניים x ועוד ארבעים שווה עשרה x. מחסרים שניים x משני הצדדים: ארבעים שווה שמונה x. מחלקים: x שווה חמש שעות. זאת נקודת האיזון.
כדי לענות על שאלה שנייה — כמה משלמים אז — מציבים x שווה חמש באחת הפונקציות. מציבים ב-B: עשרה כפול חמש שווה חמישים שקלים. בודקים ב-A: שניים כפול חמש ועוד ארבעים שווה גם חמישים. שניהם אמורים לתת אותה תשובה, ואכן כך. המחיר המשותף הוא חמישים שקלים. חשוב להדגיש: התשובה לשאלה הזאת היא y שווה חמישים, לא x שווה חמש.
כדי לענות על שאלה שלישית — מאיזו כמות שעות מסלול א' זול יותר — בודקים בנקודה כלשהי מעל x שווה חמש. נציב x שווה עשר: A שווה שישים, B שווה מאה. מסלול א' זול יותר. לכן מעל חמש שעות, מסלול א' עדיף.
יש כאן תובנה חשובה שכדאי לזכור: גרף שמתחיל גבוה יותר, כלומר עם b גדול יותר, לא בהכרח יישאר גבוה יותר לאורך כל הדרך. מסלול עם תשלום קבוע גבוה אבל קצב שינוי נמוך יהיה זול יותר בשימוש רב. זה בדיוק מה שקרה כאן — מסלול א' מתחיל ב-40 שקל ומסלול ב' מתחיל מאפס, אבל ברגע שעוברים חמש שעות, מסלול א' מנצח.
ותרגול אחרון לפני שסוגרים. מסלול א' הוא y שווה שלושה x ועוד עשרים. מסלול ב' הוא y שווה שמונה x. מתי הם שווי מחיר? מקשווים: שלושה x ועוד עשרים שווה שמונה x. מסיקים שעשרים שווה חמישה x, כלומר x שווה ארבע שעות. מה המחיר המשותף? מציבים ב-B: שמונה כפול ארבע שווה שלושים ושניים שקלים. ומאיזו כמות מסלול א' זול יותר? נציב x שווה עשר: A שווה חמישים, B שווה שמונים. מסלול א' זול יותר. לכן מעל ארבע שעות, מסלול א' עדיף.
זה היה שיעור שלם על המודל הליניארי וקריאת גרפים. נזכור את הנוסחה y שווה mx ועוד b, נדע לזהות את b ואת m מתוך הטקסט, נדע לקרוא גרף ולהסביר כל נקודה בו, ונדע לפתור בעיות השוואה בין שני מסלולים. עד הפעם הבאה, בהצלחה לכולם.