סְטָטִיסְטִיקָה וְהִתְפַּלְּגוּת נוֹרְמָלִית

בואו נתחיל עם שאלה פשוטה שנראית ברורה מאליה, אבל מסתירה בפנים בעיה אמיתית. דניאל קיבל 85 במתמטיקה. נועה קיבלה 78 בפיזיקה. מי מהם הצליח יותר? הרבה אנשים יגידו מיד "דניאל, כי 85 גדול מ-78", אבל זאת טעות. אי אפשר להשוות ציונים ממקצועות שונים בלי לדעת מה היה הממוצע וסטיית התקן של כל מבחן. אולי מבחן המתמטיקה היה קל מאוד וכולם קיבלו מעל 90, ואז 85 זה ציון נמוך יחסית. בדיוק בשביל זה קיים כלי שנקרא ציון תקן, וזה הנושא של הפרק הזה.

לפני שמגיעים לציון תקן, צריך להבין שני מושגים בסיסיים. הראשון הוא הממוצע, שמסומן ביוונית mu, ושווה לסכום כל הנתונים חלקי מספרם. כשיש טבלת שכיחויות, כופלים כל ערך בשכיחות שלו ומחברים הכול, ואז מחלקים בסכום השכיחויות הכולל. המושג השני הוא סטיית התקן, שמסומנת ביוונית sigma, ומודדת עד כמה הנתונים מפוזרים סביב הממוצע. כששתי כיתות חולקות ממוצע זהה של 72, אחת יכולה לכלול תלמידים שכולם קיבלו בין 70 ל-74, והשנייה יכולה לכלול תלמידים שקיבלו בין 40 ל-100. הממוצע זהה, אבל סטיות התקן שונות לחלוטין. סטיית תקן קטנה אומרת שהנתונים צפופים ממש סביב הממוצע, וסטיית תקן גדולה אומרת שהם מפוזרים לרווחה.

עכשיו מגיעים להתפלגות הנורמלית, שנראית כמו פעמון סימטרי. לעקומה הזאת כמה תכונות חשובות שחייבים להכיר. ראשית, היא סימטרית לחלוטין סביב הממוצע. המשמעות היא שהממוצע, החציון והשכיח כולם נמצאים באותה נקודה, ובדיוק 50 אחוז מהאוכלוסייה נמצאים מעל הממוצע ו-50 אחוז מתחתיו. שנית, ישנם כללים מספריים מדויקים לגבי השטחים מתחת לעקומה. כ-68 אחוז מהאוכלוסייה נמצאים בטווח שבין ממוצע פחות סטיית תקן אחת לבין ממוצע ועוד סטיית תקן אחת. אם חוצים את הטווח הזה לשניים, מגלים שכ-34 אחוז נמצאים בין הממוצע לבין ממוצע ועוד sigma, וכ-34 אחוז נמצאים בין ממוצע פחות sigma לבין הממוצע עצמו.

ממשיכים החוצה: כ-13.5 אחוז נמצאים בין sigma אחת לשתי sigmas מעל הממוצע, וכ-2.35 אחוז נמצאים בין שתי sigmas לשלוש sigmas מעל הממוצע. מהסימטריה נובע שאותם אחוזים חלים גם בצד השמאלי של העקומה. כשרוצים לחשב את האחוז עבור טווח שמורכב ממספר חלקים, פשוט מחברים את האחוזים של החלקים הרלוונטיים. נשים לב לטעות נפוצה: 68 אחוז הוא השטח משני הצדדים ביחד, ואילו 34 אחוז הוא רק הצד מהממוצע עד sigma אחת. אל נבלבל בין השניים.

נתרגל עם דוגמה. ציוני בגרות במתמטיקה מתפלגים נורמלית עם ממוצע של 72 וסטיית תקן של 8. איזה אחוז קיבל ציון בין 64 ל-80? נבדוק: 64 שווה ל-72 פחות 8, כלומר ממוצע פחות sigma אחת. 80 שווה ל-72 ועוד 8, כלומר ממוצע ועוד sigma אחת. זהו בדיוק הטווח של sigma אחת מכל צד, ולכן התשובה היא 68 אחוז. עכשיו שאלה קצת יותר מאתגרת: גבהים של בוגרי תיכון מתפלגים נורמלית עם ממוצע של 170 סנטימטר וסטיית תקן של 10 סנטימטר. איזה אחוז גבוהים בין 160 ל-190 סנטימטר? 160 שווה לממוצע פחות sigma אחת, ו-190 שווה לממוצע ועוד שתי sigmas. בצד השמאלי לוקחים את 34 האחוזים שבין הממוצע לבין sigma אחת מתחתיו, ובצד הימני לוקחים 34 אחוז בין הממוצע ל-sigma אחת ועוד 13.5 אחוז בין sigma אחת לשתי sigmas. סה"כ 34 ועוד 34 ועוד 13.5 שווה 81.5 אחוז.

עכשיו לציון התקן עצמו. הנוסחה היא z שווה ל-x פחות mu, חלקי sigma. כשהציון גבוה מהממוצע, z יהיה חיובי. כשהוא נמוך מהממוצע, z יהיה שלילי. וכשהוא שווה לממוצע, z שווה 0. שתי טעויות קלאסיות: לחלק ב-mu במקום ב-sigma, או לכתוב mu פחות x במקום x פחות mu. חשוב לזכור את הסדר הנכון.

הנה המקרה שהזכרנו בהתחלה. עדן קיבלה 88 באנגלית, כשהממוצע היה 76 וסטיית התקן 8. ציון התקן שלה הוא 88 פחות 76, חלקי 8, שווה 12 חלקי 8, שווה 1.5. תום קיבל 91 בהיסטוריה, כשהממוצע היה 80 וסטיית התקן 15. ציון התקן שלו הוא 91 פחות 80, חלקי 15, שווה 11 חלקי 15, שווה בערך 0.73. למרות שציונו של תום גבוה יותר במספרים, עדן הצליחה יותר ביחס לחבריה. וכשיודעים את ציון התקן ורוצים לחזור לציון המקורי, פשוט הופכים את הנוסחה: x שווה לממוצע ועוד z כפול sigma.

כדאי גם להכיר את הקשר בין אחוזים למספר אנשים. כשיודעים ש-16 אחוז מאוכלוסייה מסוימת נמצאים בטווח מסוים, ויש 400 תלמידים בשכבה, מספר התלמידים בטווח הזה הוא 0.16 כפול 400, שווה 64 תלמידים. טעות קלאסית: לענות "16 אחוז" כשהשאלה שואלת כמה תלמידים. כשהשאלה שואלת מספר, התשובה חייבת להיות מספר.

לסיום, ארבע מלכודות שחוזרות על עצמן בבחינות. ראשית, הכוונה להחיל אחוזי נורמלית על התפלגות שאינה נורמלית. אם בשאלה לא כתוב במפורש שההתפלגות נורמלית, אין שום בסיס להשתמש ב-68 אחוז או 95 אחוז. שנית, חיבור חלקים לא רציפים. אי אפשר לחבר 34 אחוז שבין הממוצע ל-sigma אחת עם 2.35 אחוז שבין שתי sigmas לשלוש sigmas ולומר שזה הטווח מהממוצע עד שלוש sigmas. הטווח הזה מכיל גם את ה-13.5 אחוז שבאמצע, ולכן התשובה הנכונה היא 34 ועוד 13.5 ועוד 2.35, שווה 49.85 אחוז. שלישית, בלבול בין sigma אחת לשתי sigmas. 68 אחוז מתאים ל-sigma אחת מכל צד, ו-95 אחוז מתאים לשתי sigmas מכל צד, ולא להפך. ורביעית, מתן אחוז כתשובה כשנשאל מספר אנשים. תמיד לבדוק מה השאלה מבקשת.