7 דקות
פרק היום עוסק בנושא שמבלבל הרבה תלמידים בבגרות — הסתברות מותנית. נתחיל מהבסיס ונגיע עד לנוסחת ברנולי, תוך שנעצור לזהות את הטעויות הנפוצות שעולות שוב ושוב בבחינות.
נדמיין כיתה עם שלושים תלמידים. שמונה עשר מהם משחקים כדורסל, ומתוך השמונה עשר האלה — שנים עשר הם בנים. עכשיו שואלים: אם בוחרים תלמיד אחד באקראי, וכבר ידוע שהוא משחק כדורסל — מה ההסתברות שנבחר בן? הטעות הנפוצה ביותר כאן היא לחשב שנים עשר חלקי שלושים, כלומר להתייחס לכל הכיתה. אבל זו טעות. ברגע שיש לנו תנאי — "כבר ידוע שמשחק כדורסל" — מרחב המדגם מתכווץ. לא שואלים על שלושים תלמידים, אלא רק על השמונה עשר שמשחקים כדורסל. מתוכם שנים עשר הם בנים, ולכן התשובה הנכונה היא שנים עשר חלקי שמונה עשר, שהם שני שלישים. זו בדיוק הלב של ההסתברות המותנית.
באופן פורמלי, ההסתברות של מאורע A בהינתן מאורע B מוגדרת כהסתברות של החיתוך — כלומר A וגם B יחד — חלקי ההסתברות של B בלבד. זה עובד כל עוד ההסתברות של B גדולה מאפס, כי לא ניתן להתנות על מאורע שלא קורה לעולם. חשוב להבין: ההסתברות של A בהינתן B אינה שווה בהכרח להסתברות של B בהינתן A. החלפת הכיוון משנה את התשובה לגמרי. זו אחת הטעויות הכי שכיחות — נחזור אליה בהמשך.
כדי להתאמן, נסתכל על טבלה עם מאתיים תלמידים, מחולקים לפי מגדר והשתתפות בחוג. מתוך המאתיים, תשעים משתתפים בחוג, ומתוכם חמישים הן בנות. אם בוחרים תלמידה שמשתתפת בחוג — מה ההסתברות שהיא בת? התנאי כאן הוא "משתתפת בחוג", אז מסתכלים רק על תשעים התלמידים שמשתתפים בחוג. מתוכם חמישים הן בנות, ולכן התשובה היא חמישים חלקי תשעים, שהם חמישה תשיעיות.
אחרי זה כדאי לשאול: האם ההשתתפות בחוג בלתי תלויה במגדר? כדי לבדוק, משווים את ההסתברות הכללית של חוג — שהיא תשעים חלקי מאתיים, כלומר 0.45 — לבין ההסתברות של חוג בהינתן שהתלמיד בת, שהיא חמישים חלקי מאה ועשרים, בערך 0.417. מאחר שהשניים לא שווים, המאורעות תלויים. לאי-תלות נדרש שהכפל של ההסתברויות הנפרדות יהיה שווה להסתברות החיתוך — וכאן זה לא מתקיים.
עכשיו נתקדם לדיאגרמת עץ, שהיא כלי עוצמתי לתהליכים דו-שלביים. נדמיין כיתה שבה שישים אחוז הן בנות וארבעים אחוז הם בנים. מבין הבנות, שבעים וחמישה אחוז הולכות לחוג. מבין הבנים, רק חמישים אחוז. בונים עץ: שלב ראשון הוא המגדר, שלב שני הוא החוג. כדי לחשב את ההסתברות של כל ענף, כופלים לאורך הענף — כי השלב השני מותנה בשלב הראשון. ההסתברות שנבחרת בת שמשתתפת בחוג היא 0.6 כפול 0.75, שהם 0.45. ההסתברות שנבחר בן שמשתתף בחוג היא 0.4 כפול 0.5, שהם 0.20. בסך הכל, ההסתברות שנבחר תלמיד שמשתתף בחוג — בלי קשר למגדר — היא 0.45 ועוד 0.20, כלומר 0.65.
אם רוצים לשאול: מה ההסתברות שתלמיד שמשתתף בחוג הוא בת? משתמשים בנתונים מהעץ: 0.45 חלקי 0.65, שהם תשע שלוש עשרה. שימו לב שכאן שוב מצמצמים את מרחב המדגם — לא שואלים על כולם, אלא רק על מי שמשתתפים בחוג.
נעבור לנושא שלב שלישי — נוסחת ברנולי. נוסחה זו חלה כאשר מתקיימים שלושה תנאים: מספר הניסיונות קבוע ובלתי תלויים זה בזה, בכל ניסיון יש בדיוק שתי תוצאות אפשריות כמו הצלחה או כישלון, וההסתברות של הצלחה זהה בכל ניסיון. הנוסחה עצמה אומרת: ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות מתוך n ניסיונות שווה למקדם הבינומי n בחר k, כפול p בחזקת k, כפול אחד פחות p בחזקת n פחות k.
נדמיין קלע שמכה במטרה בהסתברות 0.8, ויורה חמש פעמים. מה ההסתברות שיכה לפחות פעם אחת? כאן הטעות הנפוצה היא לחשב אחד פחות p, כלומר 0.2. אבל זה שגוי. "לפחות פעם אחת" פירושו "לא אפס פעמים", ולכן המשלים הוא ההסתברות לאפס הצלחות — שהיא 0.2 בחזקת 5. התשובה הנכונה היא אחד פחות 0.2 בחזקת חמש.
ועכשיו דוגמה שחושפת טעות קלאסית. דני בועט ארבע פעמים, עם הסתברות של רבע לשער בכל בעיטה. תלמיד חישב את ההסתברות לשני שערות כך: רבע בחזקת שתיים כפול שלושה רבעים בחזקת שתיים — וקיבל תשע חלקי מאתיים חמישים ושש. אבל זו טעות! שכחו את המקדם הבינומי. שני שערות מתוך ארבע בעיטות יכולים להתפזר בעשרה סדרים שונים — וכולם צריכים להיכלל. ארבע בחר שתיים שווה שש, ולכן את התוצאה צריך להכפיל בשש.
לסיום, נסתכל על שאלה מושגית. האם ניתן ששני מאורעות יהיו גם זרים וגם בלתי תלויים? זרות אומרת שהם לא יכולים להתרחש יחד — החיתוך שלהם הוא אפס. אם ההסתברות של שניהם חיובית, אז בהינתן שאחד קרה, השני בטוח לא יקרה — כלומר ההתנאה משנה את ההסתברות. לכן, שני מאורעות עם הסתברות חיובית שהם זרים — הם בהכרח תלויים. אי-תלות אומרת שהידיעה על האחד לא משפיעה על השני. זרות אומרת בדיוק ההפך — הידיעה שאחד קרה אומרת שהשני בטוח לא קרה.
הנקודות שכדאי לקחת הביתה: תמיד לשים לב מהו התנאי ומה הוא מצמצם, לא לבלבל בין A בהינתן B לבין B בהינתן A, לא לשכוח את המקדם הבינומי כשיש יותר מסדר אחד, ולזכור שלפחות אחת — זה תמיד אחד פחות הסיכוי לאפס הצלחות. בפרק הבא נרחיב לנושא הסתברות כוללת ומשפט בייס.